天元術是哪個數學家發明的?天元術的金代數學家叫什么名字?天元術的主要貢獻者是哪位數學家

日期:2022-08-07 14:10:49 作者:fuli 瀏覽: 查看評論 加入收藏

天元術是哪個數學家發明的?天元術的金代數學家叫什么名字?天元術的主要貢獻者是哪位數學家?


天元術

利用未知數列方程的一般方法

天元術是利用未知數列方程的一般方法,與現代代數學中列方程的方法基本一致,在古代數學中,列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。宋代以前,數學家要列出一個方程,如唐代王孝通運用幾何方法列三次方程,往往需要高超的數學技巧、復雜的推導和大量的文字說明,這是一件相當困難的工作。隨著宋代創立的增乘開方法的發展,解方程有了完善的方法,這就直接促進了對于列方程方法的研究,于是,又出現了中國數學的又一項杰出創造——天元術。1248年,金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》,以及元代數學家朱世杰的《算學啟蒙下卷》《四元玉鑒》,都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

天元術是利用未知數列方程的一般方法,與現代代數學中列方程的方法基本一致,在古代數學中,列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。

“天元”二字首次出現在北宋數學家蔣周的《益古集》中。此后,李文一的《照膽》,石信道的《鈐經》,劉汝諧的《如積釋鎖》,李思聰的《洞淵九容》等著作均對“天元術”進行了一定闡述。但這些方法不系統,一般淺談輒止。對天元術貢獻最大的數學家當屬金元人李冶和朱世杰。李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》,朱世杰的《算學啟蒙》、《四元玉鑒》都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

公元1248年,12卷的《測圓海鏡》的天元術專著誕生。從此書開始,文詞代數演變成符號代數。《測圓海鏡》是一本高雅、正宗的數學專著。其高雅之處有三:

一是總結性強。該書第一卷“識別雜記”闡述了用勾股弦求內切圓直徑的方法,這些方法都是整合前代數學家所成。該書600多條定義,就是古代勾股容圓的總結。從第二卷起,他總結出一套行之有效的天元術程序,并用182種方法先后解答了148個問題。

二是專業度高。書中所列的天元術理論,勾股形解法,數學抽象化的新起點等知識,都是當時最先進的理論知識。

三是敢于創新。為了計算方便,該書中首次使用了負號(在數字上面加一橫)和符號○(中文數字),以及一套先進的小數記法。這些都比西方數學家早幾百年。

李治很快認識到,自己花費十幾年心血寫出的《測圓海鏡》太過高雅、精深,一般人看不懂,普及天元術從何談起?為此,他決心寫一部天元術的基礎讀物。經過十幾年努力,他終于完成了三卷《益古演段》。“益古”指蔣周的專著《益古集》,“演段”即《益古集》中演示的條段法。所謂條段法,是根據古書《九章算術》中用幾何方法代替代數方程的方法,因方程中各項均用條形面積所表示而得名。很顯然,條段法是一種舊法,雖然直觀,但計算麻煩且占篇幅。《益古演段》正是把條段法轉化為天元術的第一理論書,正如序言所講:“使粗知十百者,便得入室啖其文,顧不快哉!”

《益古演段》最大特色就是用天元術解決日常所見的方、圓面積等問題。除四道題是一次方程外,其它都是二次方程,內容安排基本上是從易到難。當時只要熟讀《益古演段》,便可依葫蘆畫瓢地列出方程解決類似問題。可以這么說,目前初中數學教材上的一元二次方程,其解題思想均來自于李冶的《益古演段》。

《測圓海鏡》和《益古演段》成為世界上至今保留下來的有關“天元術”研究的最早、最完整而詳細的著作。如果說之前的天元術還像一棵小樹,那經過這李冶這兩本書的“灌溉”,小樹長得枝葉繁茂。

天元術是宋元時期數學家作出的重要貢獻,但當某個問題中包含多個未知數時,應當怎么辦呢?朱世杰將天元術原理應用于聯立方程組,在著作《四元玉鑒》中指出,當未知數不止一個時,除設天元外,根據需要還可以設地元、人元、物元,這就相當于我們今天常用的字母符號x、y、z、u,然后列出有四個未知數的四元聯立高次方程組。朱世杰在《四元玉鑒》中給出了天、地、人、物四元及常數項的算籌放置方法,進而舉例說明了如何用消去法逐漸消去多元方程組中的未知數,最終得到一個只含一個未知數的一元高次方程的方法。《四元玉鑒》雖未提及一元高次方程的解法,但這個問題顯然已不成為問題了,朱世杰的前人已解決了它。在歐洲,法國數學家貝佐于18世紀也系統敘述了高次方程組的消元法。由天元術引入的四元術,不僅是中國古代數學領域最光輝的篇章,也是中世紀世界數學史上最杰出的一頁。

天元術的成熟,標志著中國代數學進入了“半數學符號”發展階段。由于各種原因,這個階段持續時間比較長。公元1798年,清代藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了后人學習天元術的《測圓海鏡細草》十二卷;此后,數學家焦循和李銳合寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書,用較為明白的語言詳細記載了解未知數的天元術。至此,天元術終于和現代方程論融合于一體。

天元術的發明,在世界數學史上有重要的意義。西方數學史上,16世紀的法國數學家韋達較為系統地引進數學符號,比中國天元術晚了300多年。

天元術影響

天元術的出現,提供了列方程的統一方法,其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲,只是到了十六世紀才做到這一點。此外,宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數學高次方程正根的運算過程。因此,在這一時期,列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式,中國古典代數學發展到了比較完備的階段。

不僅如此,繼天元術之后,數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組,如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元,劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等,最后又由朱世杰創立了四元術。

貢獻者簡介

李治

李冶(1192年—1279年),原名李治,字仁卿,自號敬齋,真定欒城(今河北省石家莊市欒城區)人。金元時期的數學家。金正大末進士,辟知鈞州。

金亡北渡后,流落忻崞間,常與元好問唱和,世稱“元李”。晚家封龍山(今河北省元氏縣)下,隱居講學。元世祖至元初,以翰林學士召,就職期月,以老病辭歸。能詩詞,有《敬齋集》,今有考訂之作《敬齋古今黈》40卷傳世。另著有《測圓海鏡》12卷(1248年)、《益古演段》3卷(1259年)、《泛說》40卷、《壁書叢削》12卷。

李冶在數學上的主要貢獻是天元術(設未知數并列方程的方法),用以研究直角三角形內切圓和旁切圓的性質。與楊輝、秦九韶、朱世杰并稱為“宋元數學四大家”。

朱世杰

朱世杰(1249年-1314年),字漢卿,號松庭,漢族,燕山(今北京)人氏,元代數學家、教育家,畢生從事數學教育。有“中世紀世界最偉大的數學家”之譽。朱世杰在當時天元術的基礎上發展出“四元術”,也就是列出四元高次多項式方程,以及消元求解的方法。此外他還創造出“垛積法”,即高階等差數列的求和方法,與“招差術”,即高次內插法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》。

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